计算机基础 —— 二进制十六进制转十进制基础

文章只适用于新手朋友看. 大牛略过, 没有什么值得你学习的.

进位制是一种记数方式，亦称进位计数法或位值计数法。利用这种记数法，可以使用有限种数字符号来表示所有的数值。一种进位制中可以使用的数字符号的数目称为这种进位制的基数或底数。若一个进位制的基数为n，即可称之为n进位制，简称n进制。现在最常用的进位制是十进制，这种进位制通常使用10个阿拉伯数字（即0-9）进行记数。
我们可以用不同的进位制来表示同一个数。比如：十进数57(10)，可以用二进制表示为111001(2)，也可以用五进制表示为212(5)，同时也可以用八进制表示为71(8)、亦可用十六进制表示为39(16)，它们所代表的数值都是一样的。

在10进制中有10个数字(0 - 9)，比如

在16进制中有16个数字(0–9 和 A–F)，比如 (这里用字符B表示数字11)

一般说来，b进制有b个数字，如果 是其中四个数字，那么就有

(注意， 表示一个数字序列, 而不是数字的相乘)

引自进位制 - 维基百科, 上面其他进制的链接则链接到维基百科相关页面.
在上面我们得知一个说明, 假设以10进制来计数, 那么进位制的基数就是10, 以2进制计数那么进位制的基数就是2, N位进位制的基数就是N.. 基数就是N

生活中我们常用的是10进制, 计算机里常用的是2进制, 8进制及16进制. 其中8进制相对来说使用较少. 编程中2进制及16进制相对频繁使用.
本文只对2,8,10,16进制进行说明.

十进制

十进制是我们最熟悉也最常用的一种, 阿拉伯数字数字正是以十进制为基础来进行计数.
这点本人就不多啰嗦了. 了解来源发展史相关的可以参考: 十进制 - 维基百科

那么我们所说的进位, 是如何进位的?
假设我们有个十进制的数字为: 521
那么可以拆分为 521 = 5 * 100 + 2 * 10 + 15是百位, 2是十位, 1是个位.
那么: 百位10的2次方, 十位10的一次方, 个位则是10的0次方.
所以我们可以拆分为:
521 = 5 * 10² + 2 * 10¹ + 1 * 10º

像这样拆分为10的多少次方.以10递增就称为10进制.
同时我们也可以根据这个拆分结果发现一个规律.

521是3位数, 最高位是百位, 是10的2次方(10²).
那么5211是4位数, 那么最高位是千位, 是10的三次方(10³).

由此我们可以得出一个N位长的10进制数字, 他的最高位是10的N-1次方(10ⁿ﹣¹), 然后10的n-2, n-3等等一直, 到个位的10减0次方.这里的10就称为基数.
理解了这个, 下面讲的2进制, 16进制也就容易理解了.

进位: 当个位达到超过的数值9时, 不用10来表示而在十位上用1来表示. 然后11 12 13 … 19 20. 当超过19时十位的1就开始变成2, 同时个位变成0. 通过分析可以看出进位是从个位开始影响后面的十位百位等其他位.

二进制

上面我们分析了10进制拆分的过程.并发现了一个规律:
那就是一个用10进制表示的N位数字等于基数的N-1次方

那么二进制也如此, 二进制只用1和0进行表示.
这里引用维基百科上面对二进制的一个例子:

0 0 0 1 数值为2º
0 0 1 0 数值为2¹
0 1 0 0 数值为2²
1 0 0 0 数值为2³

上面列举了4个二进制数字, 1分别从0位一直3位.
通过观察我们一样可以发现,
第一个数字0 0 0 1 数值为2º, 1是在最低位, 也就是2的0次方.
第二个数字0 0 1 0 数值为2¹, 1是在第1位, 也就是2的1次方.
一直到最后的1到了最高是2的3次方. 这和我们上面说的10进制的拆分是一样的.

所以说假设我们有个1110这样的一个4位的2进制数字.
那么计算是

1110 = (1 * 2³) + (1 * 2²) + (1 * 2¹) + (0 * 2º)
     =    8     +    4     +    2     +    0
     = 14

上面是2进制推算为10进制的数字, 那么下面再说下10进制推算回2进制的数字.
就拿21这个数字来说, 可以用除以2的方式来反推,

我们可以来写一个公式.

图片中的每个直角符号里的数, 除了最上面的21不算, 其后的每一个是上一次除以2后得出的商, 然后用它充当被除数继续去除以2. 如果能整除, 则记为0, 不能整除记为1. 由此我们就可以推导出对应的二进制. (注意: 二进制数字的排序是从最下面往上面)

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下面是在网上找的一个156换算成2进制的步骤图, 供同时参考.

另外: 我们会发现如果十进制数字是一个偶数, 那么2进制的最低位就0, 十进制是奇数, 2进制的最低位则是1(因为奇数不能整除).

二进制中的每一个数字称为一个位或者说一个比特(bit).
我们知道1个字节等于8个比特.就是指: 1byte = 8bit.
所以说如果1111 0000 这样一个8位数的二进制数字, 刚好是一个1字节.
我们在编程中用的那些位移运算符可以用来对这些每个位进行操作.

十六进制

上面说了2进制, 差不多大家都理解了. 现在再说一下十六进制.
十进制是用0-9表示, 二进制是用1和0.
十六进制则是用0-9A-F来表示, 一共是 0123456789ABCDEF, A代表数字10, B代表11, 一直到F代表15. 加起来一共16个数字.
根据上面的运算我们现在可以知道, 推算就是用: N位上的数字乘以N进制的N位-1次方来计算出那个位上的数字是十进制对应的什么数字.
例如一个十六进制的数位: F4, 我们可以这么计算.

1. 先确定这个数字的长度, F4长度2. 那么F是第(长度-1)位, 4就是第(长度-2)位.
2. 上面计算得出F是第1位, 4是第0位.
3. 那么F就是: 15乘以16的一次方. 得出: 15 * 16¹ = 240
4. 那么4就是: 15乘以16的零次方. 得出: 4 * 16º = 4
5. 那么最终结果就是: 十六进制的F4对应的十进制数字为 240 + 4 = 244;

那么十进制转到十六进制, 可以用这样的方式.

引用一个: 十进制数与十六进制数的转换方法 来说明十进制转换到十六进制. 该链接里也说明了2,8,16这三个进制的相互转换

若十进制数23785转为十六进制，则用23785 / 16 = 1486 余9, 1486 / 16 = 92 余14, 92 / 16 = 5 余12, 5 / 16 = 0 余5，十六进制中，10对应为a、11对应为b、。。。。。。、15对应为f，再将余数倒写为5ce9, 则十进制23785=十六进制5ce9

值的说明的一个地方是当二进制和十六进制进行转换的时候, 二进制中的4个位代表一个十六进制.如果不够4个位那就前面补上对应数量的0.
例如一个二进制数为: 11111010 那么可以分为1111 1010, 1111代表十六进制F, 1010代表十六进制A. 所以二进制11111010就是十六进制FA.